NUMEROS ORDINALES

En matemáticas, un número ordinal es un númeroque denota la posición de un elemento perteneciente a una sucesión ordenada. Por ejemplo, en la sucesión a b c d, el elemento a es el primero, b el segundo, c el tercero, etc.

Los números ordinales pueden generalizarse para las sucesiones infinitas, introducidas por Georg Cantor en 1897.

Se desea construir números ordinales como conjuntos bien ordenados especiales de forma que todoconjunto bien ordenado es ordenadamente isomorfo a exactamente un número ordinal. La siguiente definición mejora el enfoque de Cantor y fue propuesto inicialmente por John von Neumann:

Un conjunto S es un ordinal si y solo si S está totalmente ordenado con respecto a la inclusión de conjuntos (es decir, la relación subconjunto) y todo elemento de S es también un subconjunto de S.

Basándose en el axioma de regularidad, que puede enunciarse como: «Todo conjunto no vacío “S” contiene un elemento “a” disjunto de “S”.»

Nótese que los naturales, en la representación propuesta más arriba son los llamados ordinales finitos. Por ejemplo,2 es un elemento de 4 = {0, 1, 2, 3}, y 2 es igual a {0, 1} por lo que también es un subconjunto de 4.

Se puede demostrar, aplicando inducción transfinita que todo conjunto bien ordenado es ordenadamente isomorfo a exactamente uno de estos ordinales.

Más aún, los elementos de cada ordinal son en sí mismos ordinales. Cuando se tienen dos ordinales S y T, S es un elemento de T si y solo si S es un subconjunto propio de T, y más aún, cuando S y T son distintos y S no es un elemento de T, se cumple que T es un elemento de S. De manera que todo conjunto de ordinales está totalmente ordenado y más aún, Todo conjunto de ordinales es bien ordenado. Este último resultado es la generalización de la misma propiedad sobre los naturales, lo que permite enunciar y utilizar inducción transfinita para demostrar propiedades sobre ordinales.

Otra consecuencia es que todo ordinal S es un conjunto que contiene como elementos precisamente los ordinales más pequeños que S. Esta afirmación determina completamente la estructura de conjunto de cada ordinal en términos de otros ordinales. Ella es utilizada para demostrar muchas de las propiedades de estos números. Un ejemplo de ello es una importante caracterización de la relación de orden entre ordinales: todo conjunto de ordinales tiene unsupremo, que es el ordinal obtenido como la unión de todos los ordinales del conjunto. Otro ejemplo es el hecho que la colección de todos los ordinales no es un conjunto. Puesto que todo ordinal contiene únicamente ordinales, se cumple que todo elemento de la colección de todos los ordinales también es su subconjunto. Así, si esa colección fuera un conjunto, tendría que ser un ordinal también, por definición; entonces sería un elemento de él mismo, lo cual contradice elaxioma de regularidad.